Perkalian Matriks

Pembuktian Rumus Determinan Matriks

Langkah-langkah membuktikan rumus determinan matriks adalah sebagai berikut.

Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Metode Ekspansi Kofaktor

Pada artikel ini, kita akan membahas cara lain untuk memperoleh determinan suatu matriks yakni dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.

Kita telah mempelajari dua cara menghitung determinan matriks. Pertama dengan menggunakan metode Sorrus dan kedua dengan menggunakan operasi baris elementer. Pada artikel ini, kita akan membahas cara lain untuk memperoleh determinan suatu matriks yakni dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.

Ada dua istilah yang perlu dipahami terlebih dahulu yakni minor entri dan kofaktor entri. Kita definisikan sebagai berikut.

Jika \(A\) adalah matriks kuadrat dengan entri atau elemennya \(a_{ij}\), maka yang disebut minor entri \(a_{ij}\) atau dinotasikan dengan \(M_{ij}\) adalah determinan submatriks setelah baris ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dicoret dari \(A\). Bilangan \((-1)^{(i + j)} M_{ij}\) yang dinotasikan dengan \(C_{ij}\) dinamakan kofaktor entri \(a_{ij}\).

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Misalkan terdapat matriks berikut.

Tentukan minor entri dan kofaktor dari \(a_{11}\) dan \(a_{32}\).

Dari definisi yang diberikan di atas, maka minor entri \(a_{11}\) adalah

Perhatikan bahwa di sini kita mencoret baris dan kolom pertama dari matriks A sehingga diperoleh submatriks baru berukuran 2 x 2. Determinan dari submatriks yang diperoleh disebut minor entri \(a_{11}\).

Dengan demikian, kofaktor \(a_{11}\) yaitu

Hal yang sama dapat kita lakukan untuk mencari minor entri \(a_{32}\), yakni

dan kofaktor \(a_{32}\) yaitu

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen \(a_{ij}\) hanya berbeda dalam tandanya, yakni, \(C_{ij} = ±M_{ij}\). Cara cepat untuk menentukan penggunaan tanda + atau tanda – berasal dari kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan \(C_{ij}\) dan \(M_{ij}\) berada dalam baris ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dari susunan

Misalnya, \(C_{21} = -M_{21}\), \(C_{12} = -M_{12}, C_{22} = M_{22}\), dan seterusnya.

Sekarang kita akan mengaitkan apa yang telah kita pelajari di atas mengenai minor entri dan kofaktor entri dengan pencarian determinan suatu matriks. Misalkan diketahui matriks A berukuran \(3 × 3\) sebagai berikut:

\[ A = \left[ {\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} } \right] \]

Kita tahu bahwa determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan Rumus Sorrus, yakni:

yang mana dapat dituliskan kembali sebagai:

Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tak lain adalah kofaktor-kofaktor \(C_{11}, C_{21}\), dan \(C_{31}\), maka kita peroleh

Persamaan (1) memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan kemudian menjumlahkan hasil kalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Contoh 2: Menghitung Determinan

Misalkan diketahui matriks A sebagai berikut.

Hitunglah \(\det(A)\) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Dari persamaan (1) diperoleh

Dengan cara yang sama seperti kita lakukan untuk memperoleh persamaan (1), determinan matriks A dapat dihitung dengan rumus berikut:

Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri-entri dan kofaktor berasal dari baris atau dari kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor \(\det(A)\).

Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks \(3×3\) membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut:

Determinan matriks \(A\) yang berukuran \(n × n\) dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni, untuk setiap \(1≤i≤n\) dan \(1≤j≤n\), maka

Contoh 3: Menghitung Determinan

Tinjaulah matriks A berikut.

Hitunglah det(A) dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.

Dari persamaan (2) baris kedua diperoleh

Ini sesuai dengn hasil yang kita peroleh pada contoh kita sebelumnya.

Pada contoh ini kita tak perlu menghitung kofaktor akhir, karena kofaktor tersebut dikalikan oleh nol. Umumnya, strategi terbaik untuk menghitung determinan dengan menggunakan ekpansi kofaktor adalah dengan mengekspansikannya sepanjang baris atau kolom yang mempunyai bilangan nol yang terbanyak.

Ekspansi kofaktor dan operasi baris atau operasi kolom kadang-kadang dapat digunakan bersama-sama untuk memberikan metode yang efektif untuk menghitung determinan. Contoh berikut melukiskan gagasan ini.

Contoh 4: Menghitung Determinan

Hitunglah \(\det(A)\) di mana

Dengan menambahkan perkalian yang sesuai dari baris kedua pada baris selebihnya, kita dapatkan

Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

75%75% found this document useful, Mark this document as useful

25%25% found this document not useful, Mark this document as not useful

Belanja di App banyak untungnya:

Jumlah Pengunjung 1,387

Determinan Matriks Ordo 2×2 – Konsep matriks telah dipelajari pada Kompetensi Dasar sebelumnya. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.

Strategi Pertumbuhan dalam Matriks Ansoff

Penerapan strategi atau model matriks Ansoff juga banyak dijadikan sebagai tolok ukur yang menentukan pertumbuhan pasar. Setiap elemen dalam matriks ini sesuai dengan strategi pertumbuhan tertentu di antaranya:

Saat menggunakan strategi penetrasi pasar, manajemen berusaha untuk menjual lebih banyak produk yang ada ke pasar yang mereka kenal. Strategi eksekusi yang umumnya dilakukan meliputi:

- Pengingkatan upaya pemasaran atau merampingkan proses distribusi

- Penurunan harga untuk menarik pelanggan baru dalam segmen pasar

- Akuisisi pesaing di pasar yang sama

Sederhananya, konsep ini digunakan untuk meningkatkan penjualan produk yang ada ke pelanggan. Hal ini biasanya dilakukan dengan menarik pelanggan dari pasar pesaing yang saat ini belum menggunakan produk.

Kesimpulan dan Manfaat Determinan Matriks

Determinan matriks adalah angka skalar yang didefinisikan untuk matriks persegi. Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Determinan memberikan beberapa manfaat penting dalam teori matriks dan aplikasinya. Berikut ini adalah beberapa manfaat determinan matriks:

%PDF-1.5 %µµµµ 1 0 obj <>>> endobj 2 0 obj <> endobj 3 0 obj <>/Pattern<>/Font<>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 720 540] /Contents 4 0 R/Group<>/Tabs/S/StructParents 0>> endobj 4 0 obj <> stream xœ…‘Ûj1†ïy‡¹Üº;“L&+ˆP-¶¬né…ôBD…Ò.T…¾~µ²V±†aÈÿs€|­V>ìz€í6tz]øÒ 3D$cЃ7ŽÖ­^Pi•�fÛíb]Á|ùÈÁf^5ˆBÈ'¢eC«g­ ?ìÔ€T<]GcÆÁ3+Í�/`½ÒJDNèŽÿ…›kðÂ]„‹ØðE؇ȅáîÀ¼Š´ùÓ¬ZA²¨n^&é�ß)Ã>ïD24Ê¥V¡‹ðØeF0óP~Fº¡8¦õ1:owôóêø^«i2LI’ÛTlR¦ÄÉ8%—bí1f“ô Ê­ú�;øEڦɨƜ&Pûy6†°ð½ë$Þ„›ñ>Þî žï È °Ù!õYááC«ÉSw0UT`Ø�ìTÄ!uWTò«2áþÌU¶ØþQý Kj•Ê endstream endobj 5 0 obj <>>>/Filter/FlateDecode/Length 35>> stream xœ+T037Ñ3 Dã&çê{æ&¦§š)¸ä+ ÝÓ L endstream endobj 6 0 obj <> stream xœìÝÙ²5·q¦á}ÿ—(S)Ñ'‹“ER’I¬ÐŠ5T¡9!¼Ï™£;Ì¿Éýï¯sB}| æwõŒþW À„©ú_eðÿ àÅ î…ô ,):Í?IçòǾ!ý sñJóüøöåžþ£ÿà ¶cÌô¸�ý½AÜŸêmú“û €ºX·Ä¢%¯3e¦?¡ ð�é£ó9Ctô“ø ¡®j=-ÍÿP‰Kôÿ¾3ýu‰Oè |c}ê÷’ý$> àŒ0Ù3Ýš¬!?ý½ÿ=ôGÿ œÙ“="ÐGG·³èô�(óGÿ` ô$ánIöÌ4ÿS.—?óͨÐ'î`=—É®Žõ 4OŽo_ éOâ Ô5{Z¬åì§ZAž›�¡oI|â JÑ•íºd�Nsu^gÊLÿè2_^à�þ1€½(Â=(Ö×Ëq‹ÐÜ7†¾K�?ú VÖ÷®²]ë9iþY%ùéïú‰OÜ@„Þp÷Jöˆ@Úþ*ä~Pâ÷ §+ÜÏ~‡»'{fšÿy—?ùgýé?<ñ‰{ H`wÇd ô!ñí+!ýCŸ¸€dián‰õQiþ— Ž¼» Ð·—ùŠÄ·Äýè¿L PÅYñ. ÷„dMóˆì’–þ.¡?6î)íàã¤x×…ûÙ¯tE²ûfzZ þ íz36ô# üÞ¸§´€;añ®w÷d�NóÏKJNÿ±‰÷”ö 6‘îŠX�Èôщí/:÷C?:î)ílEW¼K½«lW'{Zšÿ÷8.Ñÿyú»$~;ôu~\ÜSÚX†Kñn)ÛuÉèÜQtôÛCß½ÀïŠ{J{ ›°ï’p?ûeîëiiþ×tCÒß+ô# ü®¸w,íGÿ• ‘÷|Ï ÷ޚݞéÅãÛWhôG'¾®À·Ç=Y`‡ÃwK¾[Â="ÙóÓüoÞÿlw¹oL|]�ïRÝK{Fö ºlλ‡{B²Ç¥¹{vIˆþ±‰ï÷”ö VšïÂʽ+ÙÓb='ˆ¿ø�œÜ]PîÛC?'î�¥=Y ¾®æüØp×%{BšQLfú»„¾{�ï÷–Òž¬0\f¾K½·l·ÄúÔ!n46÷“ü®¸w/íÉz C¨ó=-Ü}öœ4ÿrœüô›øCâÞ·�OÖˆÐÎ÷Æð½+ßuáÞU³3}¢÷ýCß+îÝÛød=€d.ùžîîÉž™æ_ÅsùsÞDä¾±ÌOˆûœÒž¬�@žï^Å{N¸3½f|ûJˆ~{èçÄ}ZiOÖHãžïáž“ìEÒük�¸ú]\îç'¾KÜËK{²@có]î½Én�uuJJÂzˆ´ô�Nüè¸�(íÉz 9ŒùÞhÎ÷ïêpW$»o¦�Žëq¹oL|]�÷ùYÿô÷¬ýë@!/%|Z¾‡†»:ÙÒü›Ñ’Ólâ»Ä½±“Ÿœõõ nó½Ñœï-Þ%áÞU¶'gúèwšûöÐOˆû´Òž¬¡1‚�Ë÷ p÷MöÌ4ÿŸö?çÝ�Ðw/ðƒJ{²@ùÞhοÿ’lç»$ÜÏ~í+’="ÐsâÛWBôß½ÀO+í‹dýè_<

Setiap marketer akan menghadapi tantangan yang berbeda dalam melakukan strategi bisnisnya. Seiring dengan perubahan zaman, ada berbagai cara yang berubah baik dari strategi campaign hingga mengatasi tantangan perilisan dan distribusi produk.

Jika bisnis Anda tidak menghadapi tantangan yang sulit, kemungkinan ada setidaknya satu strategi yang dirasa perlu untuk Anda tingkatkan. Tantangan pemasaran dapat muncul dari cara membuat, mendistribusikan, dan memperdagangkan produk dalam sebuah platform.

Saat ini, marketing juga berjalan sangat cepat sehingga sulit untuk mengidentifikasi area mana yang ingin dikembangkan. Namun, tujuan dari peningkatan strategi sangat penting untuk memfasilitasi pertumbuhan yang lebih kuat pada tahun-tahun berikutnya.

Pembuktian Determinan Matriks Ordo 2×2

Dengan menggunakan minor dan kofaktor matriks, diperoleh:

Langkah selanjutnya dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama atau baris kedua. Diperoleh:

Rumus Kofaktor Matriks Ordo 2×2

Rumus Determinan Matriks Berordo 2×2

Dibeberapa buku, modul, ebook, maupun sumber-sumber internet rumus determinan matriks adalah sebagai berikut.

Pengembangan Pasar

Strategi pengembangan pasar dalam praktiknya tidak berisiko karena tidak memerlukan investasi yang signifikan dalam riset atau pengembangan produk. Sebaliknya, langkah ini memungkinkan manajerial untuk memanfaatkan produk yang ada dan membawanya ke pasar yang berbeda dengan beberapa pendekatan berikut di antaranya:

- Melayani segmen pelanggan yang berbeda atau target demografis

- Memasuki pasar domestik baru (ekspansi regional)

- Memasuki pasar luar negeri (ekspansi internasional)

Contohnya adalah Lululemon yang melakukan keputusan untuk secara agresif berekspansi ke pasar Asia Pasifik. Mereka menjual produk-produk olahraga yang sudah sangat populer. Membangun infrastruktur periklanan dan logistik di pasar luar negeri secara inheren menghadirkan risiko, tapi berhasil diminimalisasi dengan road map yang baik.

Rumus Minor Matriks Ordo 2×2